Retirez les gros surplus de peau et de graisse sur chaque cuisse de canard, en conservant les parures pour en extraire de la graisse. Déposez les cuisses dans un plat, répartissez le sel et le poivre mignonnette sur toutes les faces, puis ajoutez l'ail écrasé, le laurier et le thym. Filmez hermétiquement et laissez reposer au réfrigérateur toute la nuit.
Le lendemain, faites fondre la graisse de canard à feu très doux. Si vous avez fait fondre les parures de la veille, passez la graisse au chinois pour obtenir un liquide clair, sans impuretés, afin d'éviter tout goût amer.
Déposez les cuisses peau dessous dans la cocotte, versez l'eau au fond, puis couvrez entièrement avec la graisse fondue. Chauffez doucement et stabilisez la température à exactement 100°C. Laissez confire pendant 2 heures, jusqu'à ce que la chair se détache facilement de l'os.
Pendant la cuisson du canard, émincez très finement l'oignon jaune. Faites-le revenir à feu très doux dans 2 cuillères à soupe de graisse de canard avec une pincée de sel, pendant 30 minutes, jusqu'à ce qu'il devienne blond et fondant, presque transparent.
Sortez les cuisses de la graisse et laissez-les tiédir 10 minutes. Retirez la peau, les os et les herbes, puis effilochez la chair à la main ou à la fourchette, grossièrement, en conservant des fibres visibles.
Dans un bol, mélangez la chair effilochée avec l'oignon confit et sa graisse. Incorporez la graisse de canard tiède 2 à 3 cuillères à soupe à la fois, en mélangeant bien entre chaque ajout, jusqu'à obtenir une texture onctueuse et tartinable. Goûtez et ajustez le poivre du moulin.
Répartissez les rillettes dans des terrines ou bocaux stérilisés, lissez bien le dessus, puis coulez une fine couche de graisse de canard fondue (2 à 3 mm) pour protéger la surface. Réfrigérez au moins 4 heures, idéalement toute une nuit, avant de servir.